「ならば」の真偽

命題 p q について，「pならばq」が真になるのは
pの条件の集合が，qの条件の集合に含まれるときである．

たとえば，
「x>2 ならば x>0」
は
P={x|x>2}，Q={x|x>0}
としたとき，P⊂Qなので，この命題は真といえる．

さて，真理値表を書こうとすると，違和感のある状態が出てくる．
p　q：　p⇒q
偽 偽:　真
偽 真:　真
真 偽:　偽
真 真:　真
仮定pが偽のとき，結果qの真偽にかかわらず，「pならばq」は真といえる．
日常生活では仮定pが偽であることは想定しないので，そのときに結果qが何でも，「pならばq」が真というのが，一般の人には不思議なところではある．

これはまず，真理集合で考えれば明らかである．
偽の命題の真理集合は空集合$\emptyset$．
空集合はすべての集合の部分集合（空集合の部分集合でもある）であるから，
いつでも$P=\emptyset\subset Q$ となる．だから「pならばq」は真といえる．

実は，
「x>2 ならば x>0」
で考えても，この命題はxの値にかかわらず真といえる．
『x>2 ならば』といって，x=-1 を考えることはありえない．
しかし，この命題は「すべての実数xについて」言えるのである．

「すべての・・・」という言い方を述語論理という．
x=3のとき
x>2 は恒真なので真理集合Pは全体集合U
x>0 は恒真なので真理集合Qは全体集合U
P=U⊂U=Q
より「x>2 ならば x>0」は真．
x=1のとき
x>2 は恒偽なので真理集合Pは空集合$\emptyset$
x>0 は恒真なので真理集合Qは全体集合U
$P=\emptyset\subset U=Q$
より「x>2 ならば x>0」は真．
x=-1のとき
x>2 は恒偽なので真理集合Pは空集合$\emptyset$
x>0 は恒偽なので真理集合Qは空集合$\emptyset$
$P=\emptyset \subset \emptyset=Q$
より「x>2 ならば x>0」は真．
したがって，すべてのxについて「x>2 ならば x>0」は真．

「仮定が偽なら，どんな命題が結論でも，その命題は真」
というのは，有名な論理学者（ラッセルだかホワイトヘッドだったか？）が講演のときの聴衆からの質問が有名
「1=2からあなたが法王であることを証明してください．」
証明
1=2 ならば　1人の人が2人の人と同じである．ゆえに私と法王は同じであるから，私は法王である．

テストとその得点の関係のようなものだと思う．
つまり，仮定pはテスト問題，結論qは解答，真偽は得点と考えるのである．
正しいテスト問題に対して，正しい答えを書けば○（真）
正しいテスト問題に対して，間違った答えを書けば×（偽）
テスト問題が間違っていれば，どんな解答を書いても得点を与える（真）