18°，36°，54°，72°の三角比(sin cos)

以前36度の三角比を断りなしに使ったが，正3角形から作る30度60度や正方形から作る45度はともかく，36度は正5角形から作るのでので，ちょっと複雑．

正5角形の5本の対角線（星型）を全部引くといろんな角度が出てくるが，それらは36度，2倍の72度，3倍の108度のどれかである．つまり「正5角形は36度だらけ」である．

正5角形の外接円を考えると一目瞭然．
外接円の中心Oを考えると，各辺を弦とする弧の中心角は
360÷5＝72度
ということは各辺に3つずつある合計15個の円周角は全部36度．

この円周角が2つ集まる角が72度で，3つ集まる5角形の内角は108度となる．



対角線BEと辺CDはそれを横切るCEが錯角の位置で36度になるので，平行といえる．
このことから対角線同士が交わる角も36，72，108である．
そして，正5角形とその対角線を結んだ図には，平行四辺形や二等辺三角形がたくさんあって，同じ形なら相似の関係になるものばかりである．


さて，36度の三角比を求めるには，この形の中の△ACDを使う．
つまり頂角36度，底角72度の二等辺三角形である．

まず底角Cの2等分線を引く．（正5角形の対角線CEにあたる）
その線とADとの交点をQとすると，

△QACはA=C=36度の二等辺三角形である．
△CDQは∠QCD=36度，∠QDC=72度より∠DQC=180-36-72=72度でこれも二等辺三角形．
2つの二等辺三角形から，AQ=QC=CDである．
AQ=QC=CD=1，QD=xとする．
また，角度から△ACDと△CDQは相似だから AC:CD=CD:DQ であるので，
$(1+x):1=1:x$
$x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$
$x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$
$\mathrm{AC}=x+1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
これら，x や x+1 といった「正5角形の対角線と辺の比」が有名な黄金比で，正5角形の対角線はすべて互いに「黄金比で切断」している．

黄金比は彫刻や絵画の構図に使われたり，自然の動植物にもたくさん現れる比としても有名である．

QからACの中点Mに垂線を引くと
$\mathrm{AM}=\frac{\mathrm{AC}}{2}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$
AQ=1より直角三角形AQMについて，
$\cos A=\cos 36^{\circ}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}=\sin 54^{\circ}$
となり，
$\sin 36^{\circ}=\sqrt{1-\cos^2 36^{\circ}}=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}=\cos54^{\circ}$


CDの中点NにAから垂線を引くと
$\cos72^{\circ}=\frac{\mathrm{CN}}{\mathrm{AC}}=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}=\sin18^{\circ}$
となり，
$\sin 72^{\circ}=\sqrt{1-\cos^2 72^{\circ}}=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}=\cos18^{\circ}$

このように，図を使うと加法定理などの知識は不要だが，結構面倒ではある．



これに対し，加法定理（実際は2倍，3倍角）を使うと図は不要で，純粋に計算だけで求まってしまう．といっても発想の源は正5角形の中にある角度の関係
36度×3＝108度＝180度－72度＝180度－36度×2
であるが．
これさえわかればあとは，計算だけになる．
三角比の公式
$\sin(180^{\circ}-\theta)=\sin\theta$
から
$\sin(180^{\circ}-2\times36^{\circ})=\sin2\times36^{\circ}$
となり
$\sin3\times36^{\circ}=\sin2\times36^{\circ}$
あとは2倍角公式，3倍角公式を当てはめて計算．
$3\sin36^{\circ}-4(\sin36^{\circ})^3=2\sin36^{\circ}\cos36^{\circ}$
36度は鋭角なので$\sin36^{\circ}$は0でないから，両辺を割ると
$3-4(\sin36^{\circ})^2=2\cos36^{\circ}$
三角比の公式$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$から
$3-4(1-\cos^2 36^{\circ})=2\cos36^{\circ}$
$\cos36^{\circ}=x$とおくと
$3-4(1-x^2)=2x$
$4x^2-2x-1=0$
$x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{4}$
$\cos36^\circ\gt0$
$\cos36^{\circ}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$

ちなみに「マイナス」は108度である．108度も$\sin2\theta=\sin3\theta$を満たす．


これを想定した入試問題を見たことがある．
鋭角$\sin2\theta=\sin3\theta$を満たすとき，次の問いに答えよ．
(1)　$\theta$を求めよ．
(解)$\sin2\theta=\sin3\theta=\sin(\pi-3\theta)$
よって，$2\theta=\pi-3\theta$
$5\theta=\pi$
$\theta=\frac{\pi}{5}$
(2)　$\sin\theta$を求めよ．
(解)$\sin2\theta=\sin3\theta$より2倍角3倍角の公式に当てはめ，
あとは上記のとおり．

これを鋭角に制限しなければ，nを整数として
$\sin2\theta=\sin(2\theta+2n\pi)=\sin3\theta=\sin(\pi-3\theta)$
よって，$2\theta+2n\pi=\pi-3\theta$
$5\theta=\pi-2n\pi$
$\theta=\frac{(1-2n)\pi}{5}$
つまり，$\frac{9\pi}{5}$などが該当する．
三角比レベルの0～180度でも 36度のほかに108度，180度が$\sin2\theta=\sin3\theta$を満たす．
また両辺を sin で割ったときも「鋭角だから0でない」としたが，制限がなければ
$\sin\theta=0$も想定して，180×n度も答えとなる．

複素平面を使えば、1の5乗根は正5角形の頂点である。＞1の5乗根